在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。

摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。

一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。

圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动j 角以后，圆上定点从 O 点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即 j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周， 动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的 ，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。

到17 世纪，人们发现摆线具有如下性质：

1、它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是 一个不依赖于π的有理数。

2、在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。

3、圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。

4、当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部。

摆线方程式

x=r*(t-sint)； y=r*(1-cost)r为圆的半径， t是圆的半径所经过的弧度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。

摆线最早出现可见于公元 1501 年出版的 C·鲍威尔的一本书中．但在 17 世 纪，大批卓越的数学家（如伽利略，帕斯卡，托里拆利，笛卡儿，费尔马， 伍任，瓦里斯，惠更斯，约翰·伯努利，莱布尼兹，牛顿等等）热心于研究这一曲线的性质．17 世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代，这能解释人们为什么对摆线怀有强烈的兴趣。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，剽窃的指责，以及抹煞他人工作的现象。这样，作为一种结果，摆线被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海伦” 的标签。

摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉，之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers）。

摆线针轮行星传动中，摆线轮齿廓曲线运用内啮合发生圆产生的短幅外摆线。

有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基圆内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。

由以上摆线生成的几何关系 若仍保持以上的内切滚动关系，将基圆和摆线视为刚体相对于发生圆运动，则形成了摆线图形相对发生圆圆心Op作行星方式的运动，这就是行星摆线传动机构的基本原理。

摆线应用故事

时钟

时钟已变成现代人不可或少的必备工具之一，没有时钟，人们将不知时间，许多重要的约会便会错过，当各位在看表的时候，不知可曾想过，时钟里面隐藏了些甚么道理，一砂一世界，许多我们视为理所当然的事都是先民流血流汗一点一滴累积而成的。

在时钟里面到底隐藏了什么东西 将这些理论写出来可是厚厚的一大本呢！回想以前的中世纪航海时代，时间的掌握是关乎全船人生命安危的大事，想要和大海搏斗，时间是不可或缺的因素，古时候是以沙漏水钟来计时，但这些计时工具相当不准确，为了增加船员生存的机会，发明精确的计时器变成了当时科学界的当务之急。

那时在意大利有一位年轻的科学家伽利略，有一次在比萨斜塔处意外地发现一个有趣的现象，教堂的吊灯来回摆动时，不管摆动的幅度大还是小，每摆动一次用的时间都相等。当时，他是以自己的心跳脉搏来计算时间的.从此以后，伽利略便废寝忘食的研究起物理和数学来，他曾用自行制的滴漏来重

新做单摆的试验，结果证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系，只跟单摆摆线的长度有关.这个现象使伽利略想到或许可以利用单摆来制作精确的时钟，但他始终并没有将理想付之实行。

伽利略的发现振奋了科学界，可是不久便发现单摆的摆动周期也不完全相等。原来，伽利略的观察和实验还不够精确.实际上，摆的摆幅愈大，摆动周期就愈长，只不过这种周期的变化是很小的。所以，如果用这种摆来制作时钟，摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小，时钟也因此愈走愈快。

过了不久，荷兰科学家惠更斯决定要做出一个精确的时钟来.伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的，所以我们也叫做圆周摆。惠更斯想要找出一条曲线，使摆沿著这样的曲线摆动时，摆动周期完全与摆幅无关，这群科学家放弃了物理实验，纯粹往数学曲线上去研究，经过不少次的失败，这样的曲线终於找到了，数学上把这种曲线叫做“摆线”，“等时曲线”或“旋轮线”。

动手验证

如果你用硬纸板剪一个圆，在圆的边缘固定一枝铅笔，当这圆沿一条直线滚动时，铅笔便会画出一条摆线来.相信这样的玩具许多人都已经看过玩过，以前的街上，常会看到街边小贩在兜售这种摆线玩具，许多人赞叹摆线的美丽，但却不知摆线与时钟的相关性.钟表店里面那些有钟摆的时钟，都是利用摆线性质制作出来的.由于摆线的发现，使得精确时钟的制作不是梦想.这也使人类科技向前迈进一大步。